Question

7．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D；
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，延长DC交AB的延长线于G，AD交⊙O于M，连接MC，当四边形GCMB是平行四边形时，求证：AM=2MD；
（3）如图3，延长DC交AB的延长线于G，若tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，BG=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由AD和过点C的切线互相垂直，易证得OC∥AD，继而证得AC平分∠DAB；
（2）由四边形GCMB是平行四边形，可得MC∥AG，即可证得四边形OAMC是平行四边形，则可得AG=3MC，且△DMC∽△DAG，继而证得结论；
（3）首先连接BC，由（1）可得∠DAC=∠BAC，即可得$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，易证得△GCB∽△GAC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CG与AG的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；

（2）证明：连接OC，由（1）得：OC∥AD，
∵四边形GCMB是平行四边形，
∴CM∥AG，CM=BG，
∴四边形OAMC是平行四边形，
∴MC=OA，
即MC=OA=OB=BG=$\frac{1}{3}$AG，
∵MC∥AG，
∴△DMC∽△DAG，
∴$\frac{DM}{DA}$=$\frac{MC}{AG}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DM}{AM}$=$\frac{1}{2}$，
即AM=2MD；

（3）解：连接BC，
∵CD是⊙O切线，
∴∠GCB=∠GAC，
∵∠G是公共角，
∴△GBC∽△GCA，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{BG}{CG}$=$\frac{BC}{AC}$，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴tan∠DAC=tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BG=5，
∴CG=2BG=10，
∴AG=2CG=20，
∴AB=AG-BG=15，
∴⊙O的半径为：7.5．

点评 此题属于圆的综合题，考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．