Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC²=CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；
（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故$\frac{BE}{EA}=\frac{EF}{BE}$，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．

解答 证明：（1）∵AC²=CE•CB，
∴$\frac{AC}{CE}=\frac{CB}{AC}$．
又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC．
∵点D是AB的中点，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD

（2）∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90°，
∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴$\frac{EC}{EA}=\frac{EF}{EC}$
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴$\frac{BE}{EA}=\frac{EF}{BE}$
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．