Question

在等腰直角△ABC中，其中AB=AC，∠BAC=90°，过B、C作经过A点直线L的垂线，垂足分别为M、N
（1）BM、CN、MN之间有何数量关系？并说明理由；
（2）若将直线l旋转到如图②的位置，其他条件不变，那么BM、CN、MN之间又有何关系？请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠ABM=∠CAN，即可证明△ABM≌△CAN，可得BM=AN，AM=CN，根据MN=AM+AN，即可解题；
（2）易证∠ABM=∠CAN，即可证明△ABM≌△CAN，可得BM=AN，AM=CN，根据MN=AM-AN，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠MAB+∠ABM=90°，∠MAB+∠CAN=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，

∠AMB=∠CNA=90° ∠ABM=∠CAN AB=AC

，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∵MN=AM+AN，
∴MN=CN+BM；
（2）∵∠MAB+∠ABM=90°，∠MAB+∠CAN=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，

∠AMB=∠CNA=90° ∠ABM=∠CAN AB=AC

，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN，AM=CN，
∵MN=AM-AN，
∴MN=CN-BM．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABM≌△CAN是解题的关键．