Question

19．阅读以下材料：
对于三个数a、b、c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=$\frac{-1+2+3}{3}$=$\frac{4}{3}$；min{-1，2，3}=-1，…解决下列问题：
（1）填空：如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论：如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么a=b=c（填a、b、c的大小关系），证明你发现的结论．
③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，+2x-y}，则x+y=-4
（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x-1）²，y=2-x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为1．

Answer 1

分析 （1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数，由min{2，2x+2，4-2x}=2，得出2x+2≥2，且4-2x≥2，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；
（2）①M{2，x+1，2x}=$\frac{2+x+1+2x}{3}$=x+1，若M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，则x+1是2、x+1、2x中最小的一个，即：x+1≤2且x+1≤2x，据此即可求得x的值；
②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出；
③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；
（3）根据二次函数图象与一次函数图象的作法作出图象，然后根据min的定义解答即可．

解答 解：（1）由min{2，2x+2，4-2x}=2，得$\left\{\begin{array}{l}{2x+2≥2}\\{4-2x≥2}\end{array}\right.$，即0≤x≤1，
故答案为：0≤x≤1；

（2）①∵M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1≤2x}\\{x+1≤2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x≤1}\end{array}\right.$，
∴x=1；
②证明：由M{a，b，c}=min{a，b，c}，可令$\frac{a+b+c}{3}$=a，即b+c=2a；
又∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+b+c}{3}≤b}\\{\frac{a+b+c}{3}≤c}\end{array}\right.$，
解之得：a+c≤2b，a+b≤2c；
把b+c=2a代入a+c≤2b 可得c≤b；把b+c=2a代入a+b≤2c可得b≤c；
∴b=c；将b=c代入b+c=2a得c=a；
∴a=b=c，
故答案为：a=b=c；
③据②可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+y+2=x+2y}\\{2x+y+2=2x-y}\end{array}\right.$，
解之得y=-1，x=-3，
∴x+y=-4，
故答案为：=-4；

（3）作出图象，由图可知min{x+1，（x-1）²，2-x}的最大值为1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查了一次函数、二次函数的图象与性质，比较大小以及利用已知提供信息得出函数值的方法，读懂题目信息并理解新定义“M”与“min”的意义是解题的关键．