Question

5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点C作AD的垂线角AB于点E，连接EF．
（1）若∠DAB=15°，AB=4$\sqrt{6}$，求线段AD的长度
（2）求证：∠EFB=∠CDA．

Answer 1

分析 （1）由三角函数求出AC，再求出∠CAD=30°，运用三角函数即可求出AD；
（2）过点B作BG垂直BC，交CE的延长线于G，先证出∠CDA=∠G，由AAS证明△ACD≌△CBG，得出CD=BG，再证明△BEF≌△BEG，得出∠EFB=∠G，即可得出结论．

解答 （1）解∵△ABC为等腰直角三角形，AB=4$\sqrt{6}$，
∴∠CAB=45°，AC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}AB=4\sqrt{3}$，
∵∠DAB=15°，∠CAD=∠CAB-∠DAB=30°，
∵cos∠CAD=$\frac{AC}{AD}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴AD=$\frac{2AC}{\sqrt{3}}$=8；
（2）证明：过点B作BG垂直BC，交CE的延长线于G，如图所示：
∵∠CBG=90°，∠ABC=45°，
∴∠ABG=∠ABC=45°．
在Rt△ABG中，∠G+∠BCG=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠BCG+∠CDA=90°
∴∠CDA=∠G，
在△ACD和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠G}&{\;}\\{∠ACB=∠CBG=90°}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBG（AAS），
∴CD=BG，
又CD=BF，
∴BG=BF，
在△BEF和△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=BG}&{\;}\\{∠ABC=∠ABG}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEG（SAS），
∴∠EFB=∠G，
又∠CDA=∠G，
∴∠EFB=∠CDA．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形；本题有一定的难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．