Question

如图，抛物线l₁：y=x²平移后过点A（8，0）和原点得到抛物线l₂，l₂ 的顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线l₁相交于点D，直线AB交y轴于点E．

（1）求l₂的解析式并和阴影部分的面积S_阴影；

在l₂的对称轴上是否存在一个点F，使得△OEF的周长最小？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P是抛物线l₂上一个动点，过P作PM⊥x轴垂足为M，是否存在点P，使得以O、P、M为顶点的三角形与△OAE相似？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

 解：（1）设平移后抛物线的解析式y=﹣x²+bx，

将点A（8，0）代入，

得：0=，

解得：b=，∴y=，

顶点B（4，3），

S_阴影=OC×CB=4×3=12；

存在，

∵点O与点A关于l₂的对称轴对称，

∴连接AE，OF，OF+EF=AE，

此时，点F与点B重合，

∴F（4，3）；

（3）存在点P，使得以O、P、M为顶点的三角形与△OAE相似，

设点P（t，）  （t≠0），则：OM=|t|，PM=||，

设直线AB的解析式为：y=kx+b，

把点A（8，0）和B（4，3）代入可得：

，

解得：，

∴y=，当x=0时，y=6，

∴E（0，6），

①==时，=，

∴=或=，

解得：t=，或t=∴P（，）或P（，），

②==时，=，

∴=或=，

解得：t=4或t=12，∴P（4，3）或P（12，﹣9），

∴P₁（4，3），P₂（12，﹣9），P₃（，），P₄（，）

．