Question

如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．

（1）如图①，当=时，求的值；

（2）如图②，当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA．

Answer 1

（1）解：∵=，

∴=．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴△CEF∽△ADF，

∴=，

∴==，

∴==；

（2）证明：∵DE平分∠CDB，

∴∠ODF=∠CDF，

又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．

∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，

∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，

∴∠ADF=∠AFD，

∴AD=AF，

在直角△AOD中，根据勾股定理得：AD==OA，

∴AF=OA．