Question

13．已知直线l₁：y₁=$\frac{1}{2}$x+2分别交x轴，y轴于点A、B，点C是该直线上在第一象限内的一点，作CD⊥x轴于点D，使得S_△ACD=9，再过点C作一条双曲线y₂=$\frac{k}{x}$
（1）直接写点A（-4，0），B（0，2），并求C点的坐标；
（2）若双曲线y₂=$\frac{k}{x}$与直线AB的另一个交点为点E，求E点的坐标；
（3）若点M为双曲线上点C右侧的一点，作MN⊥x轴，当△DMN∽△BAO时，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式求出点A、B的坐标，设点C的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2），根据三角形面积公式计算求出C点的坐标；
（2）根据题意列出方程组，解方程组得到答案；
（3）设点M的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2），根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．

解答 解：（1）当y₁=0时，$\frac{1}{2}$x+2=0，解得，x=-4，
当x=0时，y₁=2，
∴点A的坐标（-4，0），点B的坐标（0，2），
设点C的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2），
由题意得，$\frac{1}{2}$×（4+x）（$\frac{1}{2}$x+2）=9，
解得，x=2，
则$\frac{1}{2}$x+2=2，
∴C点的坐标是（2，3）；
（2）∵点C在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$上，
∴k=6，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-6}\\{{y}_{2}=-1}\end{array}\right.$，
∴E点的坐标是（-6，-1）；
（3）设点M的坐标为（x，$\frac{1}{2}$x+2），
则DN=x-2，MN=$\frac{1}{2}$x+2，
∵△DMN∽△BAO，
∴$\frac{AO}{MN}$=$\frac{BO}{DN}$，即$\frac{4}{\frac{1}{2}x+2}$=$\frac{2}{x-2}$，
解得，x=4，
则$\frac{1}{2}$x+2=4，
∴点M坐标为（4，4）．

点评 本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握双曲线与直线的交点的求法、相似三角形的性质以及函数图象上点的特点是解题的关键．