Question

3．如图是抛物线y=ax²+bx+c的一部分，且其过点（3，0），对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有①②③⑥：
①abc＞0    
②方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根
③a-b+c=0  
④当x＞0时，y随x的增大而增大
⑤不等式ax²+bx+c＞0的解为x＞3  
⑥3a+2c＜0．

Answer 1

分析 根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题．

解答 解：∵抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴有两个交点，
∴-$\frac{b}{2a}$=1，b=-2a，另一个交点为（-1，0）；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
由图象知抛物线与x轴有两个交点，
故②正确；
把x=-1代入y=ax²+bx+c=a-b+c=0，故③正确；
由抛物线的对称性及单调性知：x＞1时，y随x的增大而增大
故④错误； 
不等式ax²+bx+c＞0的解为x＞3或x＜-1，故⑤错误；  
⑥由③可知a-b+c=0，
∵b=-2a，a＞0，
∴3a+c=0，
∴c=-3a，
∴3a+2c=-3a＜0，
故⑥正确．
故答案为：①②③⑥．

点评 该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析、解答是关键．