Question

如图，在边长为a的等边三角形ABC中作内接矩形EFGH，使FG在BC边上，点E，H分别在AB，AC边上，求这个矩形面积S的最大值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值

专题：

分析：如图，作辅助线；求出AN=

3

2

a，AM=

3

2

a-λ；证明△AEH∽△ABC，求出EH=a-

2 3

3

λ，S=λ（a-

2 3

3

λ）=-

2 3

3

λ2+aλ，即可解决问题．

解答：解：如图，过点A作AN⊥BC于点N，交EH于点M；
∵四边形EFGH为矩形，
∴EF=MN（设为λ），EH∥BC；
∵△ABC是边长为a的等边三角形，
∴∠B=60°，sin60°=

AN

AB

，
∴AN=

3

2

a，AM=

3

2

a-λ；
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴

AM

AN

=

EH

BC

，
解得EH=a-

2 3

3

λ，
∴S=λ（a-

2 3

3

λ）
=-

2 3

3

λ2+aλ，
∴S的最大值为Smax=

-a2

4×(- 2 3 3 )

=

3

8

a2．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、二次函数的最值公式及其应用等知识点问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．