Question

如图，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题,菱形的性质,解直角三角形

专题：压轴题

分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而求出点C的坐标；
（2）满足条件的点M有两种情形，需要分类讨论：
①当BM⊥BC时，如答图2-1所示；
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示．
（3）△CPQ的三边均可能成为菱形的对角线，以此为基础进行分类讨论：
①若以CQ为菱形对角线，如答图3-1．此时BQ=t，菱形边长=t；
②若以PQ为菱形对角线，如答图3-2．此时BQ=t，菱形边长=t；
③若以CP为菱形对角线，如答图3-3．此时BQ=t，菱形边长=5-t．

解答：解：（1）直线解析式y=x-4，
令x=0，得y=-4；
令y=0，得x=4．
∴A（4，0）、B（0，-4）．
∵点A、B在抛物线y=

1

3

x²+bx+c上，
∴

16 3 +4b+c=0 c=-4

，
解得

b=- 1 3 c=-4

，
∴抛物线解析式为：y=

1

3

x²-

1

3

x-4．
令y=

1

3

x²-

1

3

x-4=0，
解得：x=-3或x=4，
∴C（-3，0）．

（2）∠MBA+∠CBO=45°，
设M（x，y），
①当BM⊥BC时，如答图2-1所示．
∵∠ABO=45°，
∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件．
过点M₁作M₁E⊥y轴于点E，则M₁E=x，OE=-y，
∴BE=4+y．
∵tan∠M₁BE=tan∠BCO=

4

3

，
∴

x

4+y

=

4

3

，
∴直线BM₁的解析式为：y=

3

4

x-4．
联立y=

3

4

x-4与y=

1

3

x²-

1

3

x-4，
得：

3

4

x-4=

1

3

x²-

1

3

x-4，
解得：x₁=0，x₂=

13

4

，
∴y₁=-4，y₂=-

25

16

，
∴M₁（

13

4

，-

25

16

）；

②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2-2所示．
∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，
∴∠MBA+∠CBO=45°，
故点M满足条件．
过点M₂作M₂E⊥y轴于点E，
则M₂E=x，OE=y，
∴BE=4+y．
∵tan∠M₂BE=tan∠CBO=

3

4

，
∴

x

4+y

=

3

4

，
∴直线BM₂的解析式为：y=

4

3

x-4．
联立y=

4

3

x-4与y=

1

3

x²-

1

3

x-4得：

4

3

x-4=

1

3

x²-

1

3

x-4，
解得：x₁=0，x₂=5，
∴y₁=-4，y₂=

8

3

，
∴M₂（5，

8

3

）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为：（

13

4

，-

25

16

）或（5，

8

3

）．

（3）设∠BCO=θ，则tanθ=

4

3

，sinθ=

4

5

，cosθ=

3

5

．
假设存在满足条件的点D，设菱形的对角线交于点E，设运动时间为t．
①若以CQ为菱形对角线，如答图3-1．此时BQ=t，菱形边长=t．
∴CE=

1

2

CQ=

1

2

（5-t）．
在Rt△PCE中，cosθ=

CE

CP

=

1 2 (5-t)

t

=

3

5

，
解得t=

25

11

．
∴CQ=5-t=

30

11

．
过点Q作QF⊥x轴于点F，
则QF=CQ•sinθ=

24

11

，CF=CQ•cosθ=

18

11

，
∴OF=3-CF=

15

11

．
∴Q（-

15

11

，-

24

11

）．
∵点D₁与点Q横坐标相差t个单位，
∴D₁（-

40

11

，-

24

11

）；

②若以PQ为菱形对角线，如答图3-2．此时BQ=t，菱形边长=t．
∵BQ=CQ=t，
∴t=

5

2

，点Q为BC中点，
∴Q（-

3

2

，-2）．
∵点D₂与点Q横坐标相差t个单位，
∴D₂（1，-2）；
③若以CP为菱形对角线，如答图3-3．此时BQ=t，菱形边长=5-t．
在Rt△CEQ中，cosθ=

CE

CQ

=

1 2 t

5-t

=

3

5

，
解得t=

30

11

．
∴OE=3-CE=3-

1

2

t=

18

11

，D₃E=QE=CQ•sinθ=（5-

30

11

）×

4

5

=

20

11

．
∴D₃（-

18

11

，

20

11

）．
综上所述，存在满足条件的点D，点D坐标为：（-

40

11

，-

24

11

）或（1，-2）或（-

18

11

，

20

11

）．

点评：本题是二次函数压轴题，着重考查了分类讨论的数学思想，考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似）、菱形、一次函数、解方程等知识点，难度较大．第（3）问为存在型与运动型的综合问题，涉及两个动点，注意按照菱形对角线进行分类讨论，做到条理清晰、不重不漏．