Question

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B和∠D，使BC、AD落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．
（1）证明：△AGH≌△CEF；
（2）若矩形ABCD满足一个条件：

 

，则折纸后得到的四边形AECG是菱形．（无需说明理由）

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,全等三角形的判定与性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）根据折叠性质和矩形性质得出∠D=∠AHG=∠B=∠CFE=90°，AD=AH=BC=CF，∠BCA=2∠ECF，∠DAC=2∠GAH，AD∥BC，求出∠GAH=∠ECF，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出∠DCA=30°，根据全等得出AG=CE，推出AG∥CE，得出平行四边形AECG，求出∠GAC=∠ACE=30°，推出AG=CG，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵ABCD是矩形纸片，翻折∠B和∠D，使BC、AD落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的两点，
∴∠D=∠AHG=∠B=∠CFE=90°，AD=AH=BC=CF，∠BCA=2∠ECF，∠DAC=2∠GAH，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠GAH=∠ECF，
在△AGH和△CEF中，

∠AHG=∠CFE AH=CF ∠GAH=∠ECF

，
∴△AGH≌△CEF（ASA）；

（2）解：当DC=

3

AD时，四边形AECG是菱形，
理由是：在Rt△ADC中，tan∠DCA=

AD

DC

=

AD

3 AD

=

3

3

，
∠DCA=30°，
∵∠DCB=90°
∴∠BCA=60°，
根据折叠性质得出∠ACE=∠BCE=30°，
∵△AGH≌△CEF，
∴AG=CE，∠GAH=∠ECF，
∴AG∥CE，
∴四边形AECG是平行四边形，∠GAC=∠ACE=30°，
∴∠DCA=∠GAC=30°，
∴AG=CG，
∴四边形AECG是菱形，
故答案为：DC=

3

AD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．