Question

“数学是一种知识，更是一种过程．”同学们回忆一下，我们在研究数学知识时经常会经历这样的过程：根据给定的研究对象，构造（或研究）对象的特殊情况，再通过猜想、推理提炼对象的一般情况，最后对研究对象验证和实践的思维活动过程．
例如：比较n^r+1和（n+1）^r的大小（n≥1的整数），我们可以从分析n=1，n=2，n=3，…，这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．进而应用归纳出的结论比较两个数2010²⁰¹³和2011²⁰¹⁴等数的大小．
在研究真分数

a

b

（a、b均为正数）和真分数

a+m

b+m

（m为正数）的大小时，我们可以用上面的思想和方法进行研究：
研究特殊情况：
（1）任意写一些正的真分数

1

2

、

 

、

 

…，给每个分数的分子和分母同加一个正数得到新分数：

1+1

2+1

、

 

、

 

…
提炼一般情况：
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是

a

b

（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得

a+m

b+m

，则两个分数的大小关系是

a+m

b+m

 

a

b

．
解决问题：
（3）利用上述原理简要说明一杯糖水加上一勺糖更甜的理由．

 

．

Answer 1

考点：分式的混合运算

专题：阅读型,规律型

分析：（1）写出一些真分数，分子分母加一个正数得到新分数即可；
（2）比较，归纳总结得到结果即可；
（3）根据上述结论得到理由即可．

解答：解：（1）

1

3

；

1

4

，得到新分数为

1+1

3+1

=

1

2

；

1+1

4+1

=

2

5

；
（2）

a+m

b+m

＞

a

b

；
（3）加上一勺糖更甜的原因为糖水浓度变大．
故答案为：（1）

1

3

；

1

4

；

1+1

3+1

；

1+1

4+1

；（2）＞；（3）糖水浓度变大

点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．