Question

10．如图1，△ABC中，点D、E分别是AB、BC边上点，连结DE、AE、CD，P、Q、M、N分别是DE、CD、AC、AE的中点，顺次连接P、Q、M、N得四边形PQMN．
（1）判定四边形PQMN的形状并证明你的结论：
（2）若BD=BE，AB=BC，判定四边形PQMN的形状并证明你的结论：
（3）在（2）的条件下，如果∠B=90°，请在图3中画出符合条件的图形，并直接写出此时四边形PQMN的形状．

Answer 1

分析 （1）由P、Q分别是DE、DC的中点、M、N分别是AC、AE的中点知PQ∥EC且PQ=$\frac{1}{2}$EC、MN∥EC且MN=$\frac{1}{2}$EC，从而得PQ∥MN且PQ=MN，即可得出四边形PQMN是平行四边形；
（2）在（1）的基础上，由BD=BE、AB=BC知AD=EC，从而由得PN=$\frac{1}{2}$AD、PQ=$\frac{1}{2}$EC得PN=PQ，即可得出四边形PQMN是菱形；
（3）在（1）的基础上，由MN∥BC、MQ∥AB知MN⊥MQ，即∠NMQ=90°，即可得四边形PQMN是矩形．

解答 解：（1）∵P、Q分别是DE、DC的中点，
∴PQ是△DEC的中位线，
∴PQ∥EC，且PQ=$\frac{1}{2}$EC，
∵M、N分别是AC、AE的中点，
∴MN是△AEC的中位线，
∴MN∥EC，且MN=$\frac{1}{2}$EC，
∴PQ∥MN，且PQ=MN，
∴四边形PQMN是平行四边形；

（2）四边形PQMN是菱形，
∵P、N分别是DE、AE的中点，P、Q是DE、DC的中点，
∴PN是△DEA的中位线，PQ是△DEC的中位线，
∴PN=$\frac{1}{2}$AD、PQ=$\frac{1}{2}$EC，
∵BD=BE、AB=BC，
∴AB-BD=BC-BE，即AD=EC，
∴PN=PQ，
由（1）知四边形PQMN是平行四边形，
∴四边形PQMN是菱形；

（3）四边形PQMN是矩形，

∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∵MN∥BC，MQ∥AB，
∴MN⊥MQ，
∴∠NMQ=90°，
∵由（1）知四边形PQMN是平行四边形，
∴四边形PQMN是矩形．

点评 本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟练掌握三角形的中位线定理与矩形、菱形与平行四边形间的联系是解决问题的关键．