Question

15．在△ABC中，M是BC边的中点，I是内切圆的圆心，AH⊥BC于点H，E是直线IM与AH的交点，求证：AE=r．其中r是内切圆的半径．

Answer 1

分析 设圆I与BC相切于P，连接IP，设AB=c，AC=b，BC=a，根据已知条件得到BM=$\frac{a}{2}$，根据切线的性质得到PB=$\frac{a+c-b}{2}$，根据三角函数的定义得到BH=c•cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a}$，根据相似三角形的性质得到EH=r•$\frac{b+c}{a}$①
根据三角形的面积公式得到AH=$\frac{a+b+c}{a}$•r②，于是得到结论．

解答 证明：设圆I与BC相切于P，连接IP，
设AB=c，AC=b，BC=a，
则BM=$\frac{a}{2}$，PB=$\frac{a+c-b}{2}$，BH=c•cos∠B=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a}$，
∵△IPM∽△MEH，
∴$\frac{IH}{IP}$=$\frac{HM}{PM}$=$\frac{BM-BH}{BM-BP}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2a}}{\frac{a}{2}-\frac{a+c-b}{2}}$=$\frac{b+c}{a}$，
∴EH=r•$\frac{b+c}{a}$①
三角形的面积公式知a•AH=（a+b+c），
∴AH=$\frac{a+b+c}{a}$•r②，
结合①，②可得AE=AH-EH=$\frac{a+b+c}{a}$•r-r•$\frac{b+c}{a}$=r

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．