Question

5．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…任何一个单位分数都可以拆分成两个不同的单位分数的和，如$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
（1）根据对上述式子的观察，如果单位分数$\frac{1}{5}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{7}$=$\frac{1}{b}$-$\frac{1}{42}$那么a=30b=6；
（2）进一步思考，单位分数$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{x}$，（n是不小于2的正整数）则x=n（n+1）（用n的代数式表示），并对等式加以验证．

Answer 1

分析 （1）根据所给的式子，观察分母发现2×3=6；3×4=12；4×5=20，可得a=5×6=30；b=42÷7=6；
（2）利用（1）中发现的规律可知x=n（n+1），利用分式的加法整理等式的右边可证得结果．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{20}$，…
发现分母间关系：2×3=6；3×4=12；4×5=20，…
∴a=5×6=30；b=42÷7=6；
故答案为：30，6；

（2）利用（1）中发现的规律可知x=n（n+1），
∵右边=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n（n+1）}$$+\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$=左边
∴等式成立．
故答案为：n（n+1）．

点评 本题主要考查了式子的变化规律，根据所给式子发现分母间的关系是解答此题的关键．