定义:把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形.我们把这个封闭图形称为“蛋圆．如果一条直线与“蛋圆只有一个交点.那么这条直线叫做“蛋圆的切线．如图.A.B.C.D分别是“蛋圆与坐标轴的交点.已知点D的坐标为(0.8).AB为半圆的直径.半圆圆心M的坐标为(1.0).半圆半径为3．(1)请你求出“蛋圆抛物线部分的函数表达式和自变量x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．
（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）设过点D的“蛋圆”切线与x轴的交点为E，请你求出线段OE的长；
（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点P，使得以O、C、P为顶点的三角形△DOE相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据圆的圆心、圆的半径，可得A，B点，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据切线的定义，可得方程组有一组解，可得切线的解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得答案．

解答解：（1）∵M的坐标为（1，0），半圆半径为3，
∴点A，B坐标分别是（-2，0），（4，0），则设“蛋圆”抛物线部分的函数表达式为y=a（x+2）（x-4），
而点D的坐标为（0，8）
∴8=a（0+2）（0-4），
∴“蛋圆”抛物线部分的函数表达式y=-x²+2x+8，
由A，B点的横坐标，得
自变量的取值范围是-2≤x≤4；

（2）设过点D（0，8）“蛋圆”切线的解析式为 y=kx+8（k≠0），
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+8}\\{y=-{x}^{2}+2x+8}\end{array}\right.$只有一组解，
即kx+8=-x²+2x+8有两个相等的实数根，
化简，得x²+（k-2）x=0，
因式分解，得x[x+（k-2）]=0，得
2-k=0，解得
∴k=2，
∴过点D）“蛋圆”切线的解析式为 y=2x+8，
当y=0时，解得x=-4，
∴OE=4；

（3）在x轴上存在点P，使得以O、C、P为顶点的三角形△DOE相似，
如图，
在△OMC中由勾股定理，得
OC=2$\sqrt{2}$．
当△OCP∽△ODE时，$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OC}{OD}$，$\frac{OP}{4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{8}$，解得OP=$\sqrt{2}$，P₁（$\sqrt{2}$，0）P₂（-$\sqrt{2}$，0），
当△OCP∽△OED时，$\frac{OP}{OD}$=$\frac{OC}{OE}$，$\frac{OP}{8}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$，解得PO=4$\sqrt{2}$，P₃（4$\sqrt{2}$，0）P₄（-4$\sqrt{2}$，0）．
综上所述：点P的坐标是（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），（4$\sqrt{2}$，0）（-4$\sqrt{2}$，0）．