Question

18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=$\frac{1}{2}$，求$\frac{AE}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，而tan∠D=$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，
∵AO平分∠CAB，
OC⊥AC，OF⊥AB，
∴OC=OF，
∴AB是⊙O的切线；

（2）如图，连接CE，
∵ED是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECO+∠OCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠ECO=90°，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{CE}{CD}$，
∵tan∠D=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．