Question

12．已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求证：EF+AE=AB．

Answer 1

分析 由正方形对角线的性质可得：AE⊥BE，∠ABE=45°，过点F作FH⊥AB于点H，可得△BFH是等腰直角三角形，进而可得FH=BH，然后由角平分线的性质，可得EF=HF=BH，然后根据HL定理可证Rt△AHF≌Rt△AEF，进而可得AE=AH，从而可得EF+AE=BH+AH=AB．

解答 证明：过点F作FH⊥AB于点H，

在正方形ABCD中，
∵对角线AC与BD相交于点E，
∴AE⊥BE，∠ABE=45°，
∵FH⊥AB，
∴∠BFH=45°，
∴∠ABE=∠BFH，
∴BH=FH，
∵AF平分∠BAC，且FH⊥AB，AE⊥BE，
∴EF=HF=BH，
在Rt△AHF和Rt△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{HF=EF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴Rt△AHF≌Rt△AEF（HL），
∴AE=AH，
∴EF+AE=BH+AH=AB，
即EF+AE=AB．

点评 此题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，发挥它们的作用构造全等三角形，然后利用全等三角形的性质解题．