Question

如图，已知OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=…=A_nA_n+1=1，∠OA₁A₂=∠OA₂A₃=…=
∠OA_nA_n+1=90°，各三角形的面积分别为S₁，S₂，S₃，…，S_n，分析下列各式，然后回答问题：
（

1

）²+1=2，S₁=

1

2

；（

2

）²+1=3，S₂=

2

2

；（

3

）²+1=4，S₃=

3

2

；…
（1）试用含n的等式（n为正整数）表示上述变化规律；
（2）推测OA₁₀的值；
（3）求S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．

Answer 1

考点：二次根式的化简求值

专题：规律型

分析：（1）观察各等式和勾股定理、三角形面积公式易得（

n

）²+1=n+1，S_n=

n

2

；
（2）利用勾股定理可得到OA₁₀=

10

；
（3）利用二次根式的性质进行计算．

解答：解：（1）（

n

）²+1=n+1，S_n=

n

2

；
（2）OA₁₀=

10

；
（3）S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²=（

1

2

）²+（

2

2

）²+（

3

2

）²+…+（

10

2

）²=

1

4

（1+2+3+…+10）=

55

4

．

点评：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．