Question

8．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与反比例函数y=$\frac{a+3}{x}$的图象交于点A（a，-2）．
（1）求a的值；
（2）设这个二次函数的图象与y轴交于点B，且∠ABO=135°，求这个二次函数的图象的顶点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据反比例函数图象上点的特征，把点A的坐标代入反比例函数解析式计算即可；
（2）作AC⊥x轴于C，根据∠ABO=135°，得到△ABC为等腰直角三角形，求出点B的坐标，求出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标．

解答 解：（1）∵反比例函数y=$\frac{a+3}{x}$的图象经过点A（a，-2），
∴a+3=-2a，
解得，a=-1；
（2）作AC⊥x轴于C，
由（1）得，点A的坐标为（-1，-2），
∴AC=1，OC=2，
∵∠ABO=135°，
∴∠ABC=45°，
∴BC=AC=1，
∴OB=1，
则点B的坐标为（0，-1），
∴c=-1，
∵y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，-2），
∴b=0，
∴二次函数的解析式为y=-x²-1，
∴这个二次函数的图象的顶点的坐标为（0，-1）．

点评 本题考查的是二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质以及待定系数法求函数解析式，掌握函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．