Question

10．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=AC=3cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，P的速度是1cm/s，Q的速度是$\sqrt{2}$cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）问：是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积与△PBQ面积差最小？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为y（cm），试确定y与t之间的关系式；写出当t分别为何值时，PQ达到最短和最长，并写出PQ的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由于Rt△PBQ的直角不确定，需分∠BPQ=90°和∠BQP=90°两种情况讨论．由于∠B=45°，因此斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，由此建立关于t的等量关系，就可解决问题．
（2）分两种情况：①当0＜t≤1时，作QM⊥AB于M，证出△BQM是等腰直角三角形，求出△PBQ的面积，得出四边形APQC的面积-△PBQ的面积是t的二次函数，即可得出结果；
②当t＞1时，作PM⊥AB于M，同①得出四边形APQC的面积-△PBQ的面积是t的二次函数，即可得出结果；
（3）由勾股定理得出二次函数，即可得出PQ的最小值；当P到达B是，Q恰好到达C，即可得出结果．

解答 解：（1）由题可得：∠A=90°，AB=BC=4，∠B=45°，BQ=AP=t，BP=4-t．
①当∠PQB=90°时，如图1，
∵∠B=45°，
∴BQ=PQ，
∴BP=$\sqrt{2}$BQ．
∴3-t=$\sqrt{2}$•$\sqrt{2}$t，
解得：t=1；
②当∠BPQ=90°时，如图2，
同理可得：BQ=$\sqrt{2}$BP，
∴$\sqrt{2}$t=$\sqrt{2}$（3-t），
解得：t=$\frac{3}{2}$；
综上所述；当t为1秒或$\frac{3}{2}$秒时，△PBQ是直角三角形．
（2）分两种情况：
①当0＜t≤1时，作QM⊥AB于M，如图3所示：
∵∠B=45°，
∴△BQM是等腰直角三角形，
∴QM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BQ=t，
∴△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$BP•QM=$\frac{1}{2}$×（3-t）×t=$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²，
∴四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$×3×3-（$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，
∴四边形APQC的面积-△PBQ的面积=t²-3t+$\frac{9}{2}$=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，当t=$\frac{3}{2}$时，面积差最小，
但是t=$\frac{3}{2}$＞1，不符合题意；
②当t＞1时，作PM⊥AB于M，如图4所示：
∵∠B=45°，
∴△BPM是等腰直角三角形，
∴PM=BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3-t），
∴△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$t×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3-t）=$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²，
∴四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积=$\frac{1}{2}$×3×3-（$\frac{3}{2}$t-$\frac{1}{2}$t²）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{2}$t+$\frac{9}{2}$，
∴四边形APQC的面积-△PBQ的面积=t²-3t+$\frac{9}{2}$=（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，当t=$\frac{3}{2}$时，面积差最小；
因此，存在某一时刻t，使四边形APQC的面积与△PBQ面积差最小，t=$\frac{3}{2}$秒；
（3）根据题意得：1≤t≤$\frac{3}{2}$时，存在t的值，使PQ最短，t=$\frac{6}{5}$；理由如下：
如图3所示：PM=3-2t，QM=t，
由勾股定理得：PQ²=PM²+QM²=（3-2t）²+t²=5t²-12t+9=5（t-$\frac{6}{5}$）²+$\frac{9}{5}$，
∴当t=$\frac{6}{5}$时，PQ²最小=$\frac{9}{5}$，
∴PQ的最小值=$\sqrt{\frac{9}{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
当t=1时，PQ=$\sqrt{2}$＞$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
当t=$\frac{3}{2}$时，PQ=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$＞$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
综上所述：当t=$\frac{6}{5}$秒时，PQ最短，最小值=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
当P到达B是，Q恰好到达C，此时t=3秒，PQ的最大值=BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线进行分类讨论才能得出结果．