Question

5．以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于D，E是另一条直角边BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果AD=4，BD=$\frac{9}{4}$，求DE的长；
（3）证明$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=cos²B．

Answer 1

分析 （1）连结OD，由AC是⊙O的直径知∠ADC=∠CDB=90°，根据BE=EC知∠EDB=∠B，进而有∠ODA+∠EDB=∠A+∠B=90°，即∠ODE=90°，得证；
（2）由切割线定理知BC²=BD•BA，可求得BC长，根据DE=$\frac{1}{2}$BC可得；
（3）显然△BDC∽△BCA，可得$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=$\frac{BD•DC}{AC•BC}$，根据cos²B=（$\frac{BD}{BC}$）²可证得．

解答 （1）证明：连结OD，

∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵BE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC，即DE=BE，
∴∠EDB=∠B，
∴∠ODA+∠EDB=∠A+∠B=90°，
∴∠ODE=90°，OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵BC²=BD•BA，
∴BC²=$\frac{9}{4}$（$\frac{9}{4}$+4），
解得BC=$\frac{15}{4}$，
则DE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{8}$；
（3）证明：∵CD是Rt△ABC的斜边上的高，
∴△BDC∽△BCA，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=$\frac{BD•DC}{AC•BC}$，
又∵cos²B=（$\frac{BD}{BC}$）²，
∴$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BCA}}$=cos²B．

点评 本题主要考查切线的判定与相似三角形的判定与性质及切割线定理的运用，连圆心与切点证垂直是证明切线的常用作法，证相切是本题的关键．