Question

17．如图1，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，且AD=4，DC=2，动点M以每秒2个单位长度的速度从点D出发，沿射线DB做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，则CM=2$\sqrt{2}$；
（2）当t为何值时，∠AMC=90°；
（3）如图2，过点A作AN∥BC，并使得∠NDB=∠C，求AN•BC的值．

Answer 1

分析 （1）当t=1秒时，DM=2，由勾股定理求出CM即可；
（2）当∠AMC=90°时，由射影定理得出DM²=AD•DC，求出DM，即可得出结果；
（3）连接BN，由等腰三角形的性质、平行线的性质和已知条件得出∠BAN=∠NDB，证出A、D、B、N四点共圆，由圆周角定理得出AB是圆的直径，∠BNA=90°=∠CDB，证出△ABN∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 解：（1）当t=1秒时，DM=2，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴CM=$\sqrt{D{M}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故答案为：2$\sqrt{2}$；
（2）当∠AMC=90°时，
∵∠ADB=∠CDB=90°，
∴由射影定理得：DM²=AD•DC=4×2=8，
解得：DM=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，
∴t=2$\sqrt{2}$÷2=$\sqrt{2}$（秒），
∴当t为$\sqrt{2}$秒时，∠AMC=90°；
（3）连接BN，如图所示：
∵AB=AC=AD+DC=6，
∴∠ABC=∠C，
∵AN∥BC，
∴∠BAN=∠ABC，
∵∠NDB=∠C，
∴∠BAN=∠NDB，
∴A、D、B、N四点共圆，
∵∠ADB=90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠BNA=90°=∠CDB，
又∵∠BAN=∠C，
∴△ABN∽△CBD，
∴$\frac{AN}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
∴AN•BC=AB•CD=6×2=12．

点评 本题是相似形综合题目，考查了勾股定理、射影定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线证明四点共圆，运用三角形相似采纳得出结果．