Question

16．已知，一元二次方程2x²+ax+（a-3）=0．
（1）求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）已知x₁，x₂是该方程的两个根，且满足x₁²x₂+x₁x₂²=-2，求a的值．

Answer 1

分析 （1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$（a-3），再把x₁²x₂+x₁x₂²=-2，变形为x₁•x₂（x₁+x₂）=-2，然后代入计算即可求解．

解答 证明：（1）△=a²-4×2（a-3）=a²-8a+24=（a-4）²+8，
∵（a-4）²≥0，
∴（a-4）²+8＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）∵x₁，x₂是该方程的两个根，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{2}$（a-3），
∴x₁²x₂+x₁x₂²=x₁•x₂（x₁+x₂）=-$\frac{a}{4}$（a-3）=-2，
解得：a=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$或a=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$．

点评 此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．以及根与系数的关系．