Question

16．小明在做一道计算题目（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）的时候是这样分析的：这个算式里面每个括号内都是两数和的形式，跟最近学的两大公式作对比，发现跟平方差公式很类似，但是需要添加两数的差，于是添了（2-1），并做了如下的计算：
（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）
=2³²-1
请按照小明的方法：
（1）计算（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）
（2）直接写出（5+1）（5²+1）（5⁴+1）…（5²⁰¹⁶+1）-$\frac{{5}^{4032}}{4}$的值．

Answer 1

分析 根据题意以及平方差公式即可求出答案．

解答 解：（1）原式=$\frac{1}{2}$（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）
=$\frac{1}{2}$（3²-1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）
=$\frac{1}{2}$（3⁴-1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）
=$\frac{1}{2}$（3⁸-1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）
=$\frac{1}{2}$（3¹⁶-1）（3¹⁶+1）
=$\frac{1}{2}$（3³²-1）
（2）原式=$\frac{1}{4}$（5-1）（5+1）（5²+1）（5⁴+1）…（5²⁰¹⁶+1）-$\frac{{5}^{4032}}{4}$
=$\frac{1}{4}$（5⁴⁰³²-1）-$\frac{{5}^{4032}}{4}$
=-$\frac{1}{4}$

点评 本题考查平方差公式的应用，注意平方差公式的结构．