Question

3．如图，某校将一块三角形废地ABC，设计为一个花园，测得AC=80m，BC=60m，AB=100m．
（1）已知花园的入口D在AB上，且到A、B的距离相等，出口为C，求CD的长．
（2）若从C到AB要修一条水沟，水沟的造价为30元∕米，要使这条水沟的造价最低，则最低要花多少元修这条水沟？

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC是直角三角形，再根据E点是AB的中点，则连接CE，CE是AB边的中线，则根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半；
（2）根据三角形的面积计算方法建立方程即可得出CD的长，最后计算得出结论即可．

解答 解：（1）∵80²+60²=100²，
∴∠C=90°，
∵D点是AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=50m．

（2）作CE⊥AB于点E，
∵$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CE，
∴CE=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{80×60}{100}$=48（m），
造价为30×48=1440（元）．
答：水渠CD的长为48m，其造价1440元．

点评 本题考查直角三角形的中线的性质以及勾股定理逆定理的应用，线段垂直平分线的作法，解决问题的关键是证明△ABC是直角三角形．