Question

9．如图，在△ABC中，∠MAC为∠BAC的外角，P为∠MAC的平分线的反向延长线上一点（A除外）．
（1）试比较AB+AC与BP+PC的大小；
（2）若AB＞AC，点P在∠MAC平分线的反向延长线上，使得∠BPC=∠BAC，作PN⊥AB于N，求证：AB-AC=2AN．

Answer 1

分析 （1）如图作PG⊥CA于G，PN⊥AB于N．由△PAG≌△PAN，得到AG=AN，在Rt△PCG中，PC＞CG即PC＞AC+AG，在Rt△PBN中，PB＞BN即PB＞AB-AN，由此根据不等式性质即可证明．
（2）首先证明P、B、C、A四点共圆，推出PB=PC，再证明△PCG≌△PBN，得CG=BN，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图作PG⊥CA于G，PN⊥AB于N．

∵PA平分∠BAG，PG⊥AG，PN⊥AN，
∴PG=PN，
在Rt△PAG和Rt△PAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PA}\\{PG=PN}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△PAN，
∴AG=AN，
在Rt△PCG中，PC＞CG即PC＞AC+AG，
在Rt△PBN中，PB＞BN即PB＞AB-AN，
∴PB+PC＞（AC+AG）+（AB-AN），
∴PB+PC＞AB+AC．

（2）如图，作PG⊥CA于G．

∵∠BPC=∠BAC，
∴P、B、C、A四点共圆，
∴∠PAG=∠PBC，∠PAB=∠ACB，
∵∠PAG=∠PAB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC，
由（1）可知，PG=PN，AG=AN，
在Rt△PCG和△PBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PN=PG}\end{array}\right.$，
∴△PCG≌△PBN，
∴CG=BN，
∴AB-AC=（BN+AN）-（CG-AG）=AN+AG=2AN．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、垂线段最短、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．