Question

1．如图是一块直角三角形形状的绿地，量得两直角边长分别为6，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充的图形是以8长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的三边长的平方和．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出斜边AB，（1）当AB=AD时，求出CD即可；（2）当AB=BD时，求出CD、AD即可；（3）当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，求出即可．

解答 解：

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
（1）如图1，当AB=AD时，CD=6，
则扩充后等腰三角形绿地的三边长的平方和为：10²+10²+12²=344；
（2）如图2，当AB=BD时，CD=4，则AB=BD=10，AD²=8²+4²=80，
故扩充后等腰三角形绿地的三边长的平方和为：10²+10²+80=280；

（3）如图3，当DA=DB时，设AD=x，则CD=x-6，
则x²=（x-6）²+8²，
∴x=$\frac{25}{3}$，
故扩充后等腰三角形绿地的三边长的平方和为：（$\frac{25}{3}$）²+（$\frac{25}{3}$）²+10²=$\frac{2150}{9}$．

点评 本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．