Question

19．△ABC中，∠A=60°，BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，CF与BE相交于点O．
（1）如图1，若∠ACB=90°，求证：BF+CE=BC；
（2）如图2，若∠ABC与∠ACB是任意角度，（1）中的结论是否仍成立？请说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在CB上截取CM=CE，连接OM．首先证明△OCE≌△OCM，创造条件证明△OBF≌△OBM即可．
（2）如图2中，在CB上截取CM=CE，连接OM．首先证明△OCE≌△OCM，创造条件证明△OBF≌△OBM即可．

解答 （1）证明：如图1中，在CB上截取CM=CE，连接OM．

∵∠A=60°，∠ACB=90°，
又∵BE，CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠FCA=∠FCB=45°，∠ABE=∠EBC=15°，
∴∠BFC=∠A+∠ACF=105°，∠CEB=∠A+∠ABE=75°
在△OCE和△OCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠OCM=∠OCE}\\{CE=CM}\end{array}\right.$，
∴△OCE≌△OCM，
∴∠CEO=∠OEC=75°，
∴∠BMO=180°-∠CMO=105°，
∴∠BFO=∠BMO，
在△OBF或△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{∠OBF=∠OBM}\\{∠BFO=∠BMO}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△OBM，
∴BF=BM，
∴BC=BM+CM=BF+CE．

（2）结论：成立，BC=BF+CE．
理由：如图2中，在CB上截取CM=CE，连接OM．

∵∠A=60°，
∴$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=60°，
即∠ABE+∠ACF=60°，
∵∠BFO=∠A+∠FCA，∠CEO=∠A+∠ABE，
∴∠BFO+∠CEO=2∠A+∠FCA+∠ABE=180°，
由△OCM≌△OCE，得∠CEO=∠CMO，
∵∠CMO+∠BMO=180°，
∴∠BFO=∠BMO，
在△OBF或△OBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OB}\\{∠OBF=∠OBM}\\{∠BFO=∠BMO}\end{array}\right.$，
∴△OBF≌△OBM，
∴BF=BM，
∴BC=BM+CM=BF+CE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，这里的难点是角相等的证明，属于中考常考题型．