Question

5．如图，?ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．
（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．
（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．
（2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在Rt△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM=AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠NBF}\\{∠DEM=∠NFB=90°}\\{DM=BN}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△NBF，
∴ME=NF=3，
在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，
∴DM=$\sqrt{D{E}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BN=DM=5．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是记住平行四边形的判定方法和性质，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．