Question

4．如图，点A为y轴正半轴上一点，以OA为底边向y轴右侧作等腰三角形OAB，使得∠B=120°，C为x轴上一点，连接AC，以AC为底边向右侧作等腰三角形ACD，使得∠D=120°．
（1）若点A的纵坐标为6，
①连接BD，求证：△ABD∽△AOC；
②连接OD，求线段OD的最小值．
（2）设点A纵坐标为a，点C的横坐标为c，当△AOD为等腰三角形时，$\frac{c}{a}$的值为$±\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{3}±\sqrt{11}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）①由△ABO∽△ADC，推出$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AO}{AC}$，推出$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AC}$，由∠CAD=∠OAB，推出∠DAB=∠CAO，即可证明△ABD∽△AOC．
②如图1中，设BD交OA于K．由△ABD∽△AOC，推出∠ABD=∠AOC=90°，推出点D在过点B垂直AB的直线上运动，推出当OD⊥BD时，OD的值最小，解直角三角形即可解决问题．
（2）分四种情形讨论①）①如图2中，当AD=AO时，作DH⊥AC于H．②如图3中，当OA=OD时，作OH⊥BD于H．③如图4中，当OA=OD时，作OH⊥DK于H．④如图5中，当AO=AD时，作DK⊥AC于K．分别构建方程即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，连接BD、OD．

∵∠ADC=∠ABO=120°，DA=DC，BA=BO．
∴∠DAC=∠DCA=∠BAO=∠BOA=30°，
∴△ABO∽△ADC，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AO}{AC}$，
∴$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AC}$，
∵∠CAD=∠OAB，
∴∠DAB=∠CAO，
∴△ABD∽△AOC．

②如图1中，设BD交OA于K．
∵△ABD∽△AOC，
∴∠ABD=∠AOC=90°，
∴点D在过点B垂直AB的直线上运动，
∴当OD⊥BD时，OD的值最小，
∵∠BAO=∠BOA=30°，∠ABD=90°，
∴∠AKB=60°，∠KBO=∠KOB=30°，
∴KO=KB，设KO=KB=x，则AK=2x，
∵OA=6，
∴3x=6，
∴x=2，
∴OK=2，
在Rt△ODK中，
∵∠DKO=∠AKB=60°，
∴DK=$\frac{1}{2}$OK=1，DO=$\sqrt{3}$DK=$\sqrt{3}$，
∴OD的最小值为$\sqrt{3}$．


（2）①如图2中，当AD=AO时，作DH⊥AC于H．

由题意AD=DC=AO=a，
在Rt△ADH中，AH=AD•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AC=2AH=$\sqrt{3}$a，
在Rt△ACO中，CO=$\sqrt{A{C}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴c=-$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{c}{a}$=-$\sqrt{2}$．

②如图3中，当OA=OD时，作OH⊥BD于H，

由（1）可知AK=2OK，OK=KB=$\frac{1}{3}$a，AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△OHK中，OH=OK•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
在Rt△DHO中，DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{6}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$a，
∴DB=DH+HK+KB=$\frac{\sqrt{33}}{6}$a+$\frac{1}{2}$a，
∵△ABD∽△AOC，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\frac{\sqrt{33}}{6}a+\frac{1}{2}a}$，
∴$\frac{a}{-c}$=$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{c}{a}$=-$\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{11}}{4}$

③如图4中，当OA=OD时，作OH⊥DK于H．

∵由（1）可知AK=2OK，OK=KB=$\frac{1}{3}$a，AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△OHK中，OH=OK•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
在Rt△ODH中，DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$a，
∴BD=DH-KH-KB=$\frac{\sqrt{33}}{6}$a-$\frac{1}{2}$a，
∵△ABD∽△AOC，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a}{\frac{\sqrt{33}}{6}a-\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$，

④如图5中，当AO=AD时，作DK⊥AC于K．

在Rt△ADK中，AK=AD•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AC=$\sqrt{3}$a，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
综上所述，当△ADO是等腰三角形时，$\frac{c}{a}$的值为$±\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{3}±\sqrt{11}}{4}$．
故答案为$±\sqrt{2}$或$\frac{\sqrt{3}±\sqrt{11}}{4}$．

点评 本题考查相似综合题、等腰三角形的性质、勾股定理、30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质垂线段最短等知识，解题的关键是学会应用垂线段最短解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．