Question

20．若-4≤a≤0，则代数式$\sqrt{9+6a+{a}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}-10a+25}$的最大值为10．

Answer 1

分析 根据二次根式的性质进行化简，再根据a的取值范围进行分类讨论，即可解答．

解答 解：$\sqrt{9+6a+{a}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}-10a+25}$
=$\sqrt{（3+a）^{2}}+\sqrt{（a-5）^{2}}$
=|3+a|+|a-5|
当-3≤a≤0，
∴3+a≥0，a-5＜0，
原式=3+a-a+5=8，
当-4≤a＜-3时，3+a＜0，a-5＜0，
原式=-3-a-a+5=-2a+2，
此时当a=-4时，原式有最大值，-2×（-4）+2=10，
∴代数式$\sqrt{9+6a+{a}^{2}}$+$\sqrt{{a}^{2}-10a+25}$的最大值为10．
故答案为：10．

点评 本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是根据二次根式的性质进行化简．