Question

5．如图，矩形ABCD，A（0，3）、B（6，0），点E在OB上，∠AEO=45°，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．
（1）求点E的坐标；    
（2）当∠PAE=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PA为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形AEBC的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由A，B的坐标及∠AEO=45°可得出点E的坐标为（3，0）；
（2）分为两种情况：①当P在点E的左侧时，②当P在点E的右侧时，分别求出t的值，
（3）本小题分三种情况讨论：①当PA⊥AE时，⊙P与AE相切；②当PA⊥AC时，⊙P与AC相切；③当PB⊥BC时，⊙P与BC相切；分别求出各种情况的t的值．

解答 解：（1）∵A（0，3），B（6，0），
∴OA=3，OB=6，
∵∠AEO=45°，
∴OE=OA=3，
∴点E的坐标（3，0）；

（2）①当P在点E的左侧时，
∵∠AEO=45°，
∴∠EAO=45°，∵∠PAE=15°
∴∠OAP=∠EAO-∠PAE=45°-15°=30°，
∵AO=3，
∴OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AO=$\sqrt{3}$，
∵Q（-4，0），
∴QP=$\sqrt{3}$+4，
∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=$\sqrt{3}$+4，
②当P在点B的右侧时，
∵∠EAO=45°，∠PAE=15°
∴∠OAP=∠EAO+∠PAE=45°+15°=60°，
∵AO=3，
∴OP=$\sqrt{3}$AO=3$\sqrt{3}$，
∵Q（-4，0），
∴QP=3$\sqrt{3}$+4，
∵点P沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=3$\sqrt{3}$+4，
综上所述当∠PAE=15°时，t的值为$\sqrt{3}$+4或3$\sqrt{3}$+4；

（3）①如图1，当PA⊥AE时，⊙P与AE相切，
∵∠EAO=45°，
∴∠APE=45°，AP=AE，
∵AO=3，
∴PO=3，
∴QP=QO-PO=4-3=1，
∵点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=1（秒），
②如图2，当PA⊥AC时，⊙P与AC相切，
∵QO=4，点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位的速度运动，
∴t=4（秒），
③如图3，当PB⊥BC时，⊙P与BC相切，设PB=r
∵OB=6，OA=3，
∴OP²+OA²=PA²，即（6-r）²+3²=r²，解得：r=$\frac{15}{4}$，
∴QP=4+5-$\frac{15}{4}$=$\frac{25}{4}$，
∵点P从点Q（-4，0）出发，沿x轴向右以每秒个单位的速度运动，
∴t=$\frac{25}{4}$，
综上所述t₁=1秒，t₂=4秒，t₃=$\frac{25}{4}$秒．

点评 本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，矩形的性质，图形的性质，解题的关键是分类讨论当⊙P与四边形OBCA的边（或边所在直线）相切的三种情况．