Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，点P是x轴上的一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边，在其右侧作等边三角形△APQ．
（1）求点B的坐标；
（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
（3）是否存在点P，使得△OBQ是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰三角形的判定,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠BOC=30°，OB=2，借助直角三角形的边角关系即可解决问题．
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题．
（3）根据题意，结合图形，直接写出P点坐标即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C．
∵△AOB为等边三角形，且OA=2，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2；
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=

1

2

OB=1，OC=

3

，
∴点B的坐标为B（

3

，1）．
（2）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB；
在△APO与△AQB中，

AP=AQ ∠PAO=∠QAB ZO=AB

，
∴△APO≌△AQB（SAS）．
∴∠ABQ=∠AOP=90°．
（3）存在，点P坐标为P（-4，0）、P（4，0）．

点评：该题以平面直角坐标系、等边三角形为载体，以全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质等几何知识点为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．