Question

13．如图，已知ABCD是菱形，△EFP的顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，且EP=FP．
（1）证明：∠EPF+∠BAD=180°；
（2）若∠BAD=120°，证明：AE+AF=AP；
（3）若∠BAD=θ，AP=a，求AE+AF．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出∠MPF=∠NPE，推出∠EPF=∠MPF，由∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°，推出∠EPF+∠BAD=180°即可；
（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．由Rt△PMF≌Rt△PNE，推出FM=NE，由PA=PA，PM=PN，推出Rt△PAM≌Rt△PAN，推出AM=AN，推出AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，再证明PA=2AM即可解决问题；
（3）结论：AF+AE=PA•cos$\frac{θ}{2}$．证明方法类似（2）；

解答 解：（1）如图1中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠PAM=∠PAN，
∴PM=PN，
∵PE=PF，
∴Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴∠MPF=∠NPE，
∴∠EPF=∠MPF，
∵∠BAD+∠MPN=360°-∠AMP-∠ANP=180°，
∴∠EPF+∠BAD=180°．

（2）如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．

由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，
∵∠BAD=120°，
∴∠PAM=60°，易知PA=2AM，
∴AE+AF=PA．

（3）结论：AF+AE=PA•cos$\frac{θ}{2}$．
理由：如图2中，作PM⊥AD于M，PN⊥AC于N．
由（1）可知Rt△PMF≌Rt△PNE，
∴FM=NE，
∵PA=PA，PM=PN，
∴Rt△PAM≌Rt△PAN，
∴AM=AN，
∴AF+AE=（AM+FM）+（AN-EN）=2AM，
∵∠BAD=θ，
∴∠PAM=$\frac{θ}{2}$，易知AM=PA•cos$\frac{θ}{2}$，
∴AF+AE=PA•cos$\frac{θ}{2}$．

点评 本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．