Question

如图，AB是⊙O的直径，弦AC，BC的长分别为4和6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD的长为（　　）

• A、7

  2

• B、5

  2

• C、7
• D、9

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰直角三角形,圆周角定理

专题：

分析：作DF⊥CA，交CA的延长线于点F，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．由CD平分∠ACB，根据角平分线的性质得出DF=DG，由HL证明△AFD≌△BGD，△CDF≌△CDG，得出CF=

9

2

，又△CDF是等腰直角三角形，从而求出CD的长．

解答：解：作DF⊥CA，垂足F在CA的延长线上，作DG⊥CB于点G，连接DA，DB．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD
∴DF=DG，

AD

=

BD

，
∴DA=DB．
∵∠AFD=∠BGD=90°，
在Rt△ADF和Rt△BDG，

AD=BD DF=BD

，
∴Rt△AFD≌Rt△BGD（HL），
∴AF=BG．
同理：Rt△CDF≌Rt△CDG（HL），
∴CF=CG．
∵AC=4，BC=6，
∴4+AF=6-AF，
∴AF=1，
∴CF=5，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=45°，
∵△CDF是等腰直角三角形，
∴CD=5

2

．
故选：B．

点评：本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等知识点的运用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合思想求解．