Question

如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为

3

cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,特殊角的三角函数值

专题：

分析：作OE⊥AB于E，OF⊥DC于F，连结OA、OB、OC、OD、BC，根据垂径定理得BE=

1

2

AB=

3

2

，CF=

1

2

DC=

1

2

，在利用正弦的定义可分别求出∠3=60°，∠4=30°，则根据等腰三角形的性质得∠AOB=2∠3=120°，∠COD=2∠4=60°，然后根据圆周角定理得∠2=60°，∠1=30°，最后利用三角形外角性质求解．

解答：解：作OE⊥AB于E，OF⊥DC于F，连结OA、OB、OC、OD、BC，如图，
则AE=BE=

1

2

AB=

3

2

，CF=DF=

1

2

DC=

1

2

，
在Rt△BOE中，BE=

3

2

，OB=1，
∴sin∠3=

3

2

，
∴∠3=60°，
在Rt△OCF中，CF=

1

2

，OC=1，
∴sin∠4=

1

2

，
∴∠4=30°，
∵OA=OB，OC=OD，
∴∠AOB=2∠3=120°，∠COD=2∠4=60°，
∴∠2=

1

2

∠AOB=60°，∠1=

1

2

∠COD=30°
∴∠α=∠1+∠2=90°．
故答案为90°．

点评：考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和特殊角的三角函数值．