题目内容
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t）．
（1）当t=2时求△EFG的面积S；
（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；
（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接y写出t的值．
分析 （1）∵根据勾股定理得到AC=$\sqrt{42+32}$=5，CE=1如图1，连接CF，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）当0＜t＜3时，把△EFG三边的平方表示出来，△EFG是直角三角形有三种可能，列出三个方程，分别解出即可，同样当3＜t＜6时，把△EFG三边的平方表示出来，△EFG是直角三角形也有三种可能，同理解出t的值；
（3）GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{6}$，分别求出直线GG′与直线CB、BA、OA、OC的交点G′的中点在直线MN上即可得到四种情况的答案．
解答 
解：（1）∵A（4，0），C（0，3）
∴OA=4，OC=3，
∴AC=$\sqrt{42+32}$=5，CE=1
如图1，连接CF，
∵EF∥AC，
∴△OEF∽△OCA，
∴$\frac{OE}{OC}$=$\frac{OF}{OA}$，
∴$\frac{2}{3}$=$\frac{OF}{4}$，
∴OF=$\frac{8}{3}$，
∴S=S△CEF=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$；
（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（$\frac{4}{3}$t，0），G（2，$\frac{3}{2}$），
∴EF2=$\frac{25}{9}$t2，EG2=22+（t-$\frac{3}{2}$）2，GF2=（$\frac{4}{3}$t-2）2+（$\frac{3}{2}$）2，
若EF2+EG2=GF2，则有$\frac{25}{9}$t2+22+（t-$\frac{3}{2}$）2=（$\frac{4}{3}$t-2）2+（$\frac{3}{2}$）2，解得t=0（舍去），t=-$\frac{7}{3}$（舍去），
若EF2+FG2=EG2，则有$\frac{25}{9}$t2+（$\frac{4}{3}$t-2）2+（$\frac{3}{2}$）2=22+（t-$\frac{3}{2}$）2，解得t=0（舍去），t=$\frac{21}{32}$，
若EG2+GF2=EF2，则有22+（t-$\frac{3}{2}$）2+（$\frac{4}{3}$t-2）2+（$\frac{3}{2}$）2=$\frac{25}{9}$t2，解得t=$\frac{3}{2}$，
②当3＜t＜6时，E（$\frac{4}{3}$t-4，3），F（4，t-3），G（2，$\frac{3}{2}$），
∴EF2=（$\frac{4}{3}$t-8）2+（t-6）2，EG2=（$\frac{4}{3}$t-6）2+（$\frac{3}{2}$）2，GF2=22+（t-$\frac{9}{2}$）2，
若EF2+EG2=GF2，则有（$\frac{4}{3}$t-8）2+（t-6）2+（$\frac{4}{3}$t-6）2+（$\frac{3}{2}$）2=22+（t-$\frac{9}{2}$）2，整理得32t2-363t+1026=0，△=441，解得t=$\frac{171}{32}$，t=6（舍去），
若EF2+FG2=EG2，则有（$\frac{4}{3}$t-8）2+（t-6）2+22+（t-$\frac{9}{2}$）2=（$\frac{4}{3}$t-6）2+（$\frac{3}{2}$）2，整理得6t2-79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=$\frac{43}{6}$＞6（舍去），
若EG2+GF2=EF2，则有（$\frac{4}{3}$t-6）2+（$\frac{3}{2}$）2+22+（t-$\frac{9}{2}$）2=（$\frac{4}{3}$t-8）2+（t-6）2，解得t=$\frac{9}{2}$，
综上可知当△EFG为直角三角形时，t=$\frac{21}{32}$或t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{9}{2}$或t=$\frac{171}{32}$；
（3）直线MN为y=-$\frac{3}{4}$x+t，G（2，$\frac{3}{2}$），
GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{6}$，在y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{7}{6}$中，
令x=0，可得：y=-$\frac{7}{6}$，∴G′（0，-$\frac{7}{6}$），GG′中点（1，$\frac{1}{6}$），代入直线MN为y=-$\frac{3}{4}$x+t，解得t=$\frac{11}{12}$，
令y=0，可得：x=$\frac{7}{8}$，∴G′（$\frac{7}{8}$，0），GG′中点（$\frac{23}{16}$，$\frac{3}{4}$），代入直线MN为y=-$\frac{3}{4}$x+t，解得t=$\frac{117}{64}$，
令x=4，可得：y=$\frac{25}{6}$，∴G′（4，$\frac{25}{6}$），GG′中点（3，$\frac{17}{6}$），代入直线MN为y=-$\frac{3}{4}$x+t，解得t=$\frac{61}{12}$，
令y=3，可得：x=$\frac{25}{8}$，∴G′（$\frac{25}{8}$，3），GG′中点（$\frac{41}{16}$，$\frac{9}{4}$），代入直线MN为y=-$\frac{3}{4}$x+t，解得t=$\frac{267}{64}$，
综上可知满足条件的t的值为$\frac{11}{12}$或$\frac{117}{64}$或$\frac{61}{12}$或$\frac{267}{64}$．
点评 本题主要考查一次函数解析式和相似三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程的综合应用，在（1）中能分别用t表示出△EFG中的底和高是解题的关键，在（2）中注意分情况讨论，在（3）中由条件得出GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，是解题的关键．本题计算量比较大，且情况较多，较易漏掉其中一种情况．
如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（-$\sqrt{3}$，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，∠ABO=30°，OB=3OC．| A． | 35×104 | B． | 350×103 | C． | 3.5×105 | D． | 0.35×106 |