Question

9．在△ABC中，BC=8，AB=3$\sqrt{3}$，∠ABC=30°，点M在射线CA上，点M到点A的距离为3，则CM的长为$\frac{\sqrt{19}}{4}$或$\frac{7}{4}$$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，根据∠ABC的正弦和余弦可以求出CD、BD的长度，从而可以求出AD的长度，然后利用勾股定理即可求出AC的长度，再利用相似三角形对应边成比例列式求出AM的长度，再分点M在线段AC上与点M在射线CA上两种情况讨论求解．

解答 解：如图，

过点C作CD⊥AB交BA的延长线于点D，
∵BC=8，∠ABC=30°，
∴CD=BCsin30°=4，
BD=BCcos30°=4$\sqrt{3}$，
∵AB=3$\sqrt{3}$，
∴AD=BD-AB=4$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{19}$．
过M作ME⊥AB，与BA的延长线于点E，
∵点M在直线AC上，点M到直线AB的距离为3，
∴△AME∽△ACD，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{ME}{CD}$，
即$\frac{AM}{\sqrt{19}}$=$\frac{3}{4}$，
解得AM=$\frac{3}{4}$$\sqrt{19}$，
∴①点M在线段AC上时，CM=AC-AM=$\sqrt{19}$-$\frac{3}{4}$$\sqrt{19}$=$\frac{\sqrt{19}}{4}$，
②点M在射线CA上时，CM=AC+AP=$\sqrt{19}$+$\frac{3}{4}$$\sqrt{19}$=$\frac{7}{4}$$\sqrt{19}$．
综上所述，CM的长为$\frac{\sqrt{19}}{4}$或$\frac{7}{4}$$\sqrt{19}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{19}}{4}$或$\frac{7}{4}$$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了勾股定理，解直角三角形，作出图形，利用好30°的角构造出直角三角形是解题的关键，要注意分情况讨论，避免漏解．