Question

13．如图，正三角形的边长为6cm，剪去三个角后成一个正六边形．
①求这个正六边形的边长．
②求这个正六边形的边心距．
③设这个正六边形的中心为O，一边为AB，则AB绕点O旋转一周所得的图形是怎样的？（作图表示出来）并求出这条线段AB划过的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意和正六边形的性质求出正六边形的边长；
（2）求出正六边形的中心角，根据正弦的概念解答即可；
（3）根据题意画出图形，根据圆的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵正三角形的边长为6cm，
∴3个边长都相等，
又∵截去三个小等边三角形，
∴各个小三角形的边长也相等，
∴正六边形的边长为：2；
（2）连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴OD=OA•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
（3）如图2：
线段AB划过的面积=π×2²-π×（$\sqrt{3}$）²=πcm²．

点评 本题考查的是正多边形和圆的有关计算，正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距，正确运用三角函数或勾股定理进行计算是解题的关键．