Question

如图，已知正方形ABCD的边长是2，点E在DC上，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合．
（1）指出旋转的中心和旋转的角度；
（2）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？请说明理由；
（3）如果△ABF向右平移后与△DCH重合．
①请问平移的距离是多少？此时△DCH能否由△ADE直接旋转得到？若能，请说出怎样旋转（指出旋转的中心和旋转的角度）；若不能，请说明理由；
②试说明AE⊥DH．

Answer 1

考点：旋转的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据旋转的定义，直接得出旋转的中心和旋转的角度；
（2）由（1）得到△ADE绕着点A逆时针旋转90°后与△ABF重合，根据旋转的性质得∠FAE=90°，AF=AE，由此可判断△AEF是等腰直角三角形；
（3））①能，旋转中心为正方形对角线的交点，逆时针旋转90°（或逆时针旋转270°）；
②根据平移的性质得AF∥DH，由（2）得AF⊥AE，所以AE⊥DH．

解答：解：（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°；

（2）△AEF是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴△ADE≌△ABF，
∴AE=AF．
又∵∠EAF=90°，
∴△AEF是等腰三角形；

（3）①平移的距离是2，此时△DCH能由△ADE直接旋转得到，即将△ADE绕正方形ABCD的中心（即AC与BD的交点）顺时针旋转90°（或逆时针旋转270°）与△DCH重合；
②∵△ABF向右平移后与△DCH重合，
∴AF∥DH，
∴∠AGD=∠EAF=90°，
∴AE⊥DH．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和平移的性质．