Question

 在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(0，3)，B(1，0)，现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点C.

（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且.

①求点C的坐标及该抛物线的表达式；

②在抛物线上是否存在点P，使得∠POB=∠BAO. 若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（2）如图2，若该抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点D(2，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB=∠BAO. 若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围.

Answer 1

解：（1）①如图1，过点C作CD⊥x轴于点D.

             ∴.

             ∵∠ABC=90º，

             ∴.

又∵，

∴.

∵AB=BC，

∴△AOB≌△BDC. 

∴BD=OA，CD=OB.

∵A(0，3)，B(1，0)，

∴C(4，1).    

∵抛物线y=ax²+bx+c经过原点O，且，

∴.   

又∵抛物线经过点C(4，1)，

∴.

∴该抛物线的表达式为.    

② 当点P在第一象限时，过点P作PG⊥x轴于点G,连接OP.

∵∠POB=∠BAO，

∴.

设P(3m，m)，m>0.  

∵点P在上，

∴. 

解得：，(舍去).

∴.

当点P在第四象限时，同理可求得.  

当点P在第二、三象限时，∠POB为钝角，不符合题意.

综上所述，在抛物线上存在使得∠POB=∠BAO的点P，点P的坐标为或.

（2）的取值范围为或.