Question

20．如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．（结果保留根号）

Answer 1

分析 过C作CP⊥AB于P，在直角三角形ACP中，利用锐角三角函数定义求出AP与PC的长，在直角三角形BCP中，利用锐角三角函数定义求出PB的长，由AP+PB求出AB的长即可．

解答 解：过C作CP⊥AB于P，
∵在Rt△ACP中，AC=40千米，∠ACP=45°，sin∠ACP=$\frac{AP}{AC}$，cos∠ACP=$\frac{CP}{AC}$，
∴AP=AC•sin45°=40×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=20$\sqrt{2}$（千米），
CP=AC•cos45°=40×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=20$\sqrt{2}$（千米），
∵在Rt△BCP中，∠BCP=60°，tan∠BCP=$\frac{BP}{CP}$，
∴BP=CP•tan60°=20$\sqrt{6}$（千米），
则AB=AP+PB=（20$\sqrt{2}$+20$\sqrt{6}$）千米．

点评 此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．