Question

5．已知锐角△ABC内接于⊙O，点D在$\widehat{BC}$上（点D与点A位于弦BC的两侧），∠ADC=∠ACB．
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，点P在$\widehat{AC}$上（与点B位于弦AC的两侧），连接BP，交弦AD于点E，交弦AC于点F，若AE=AF，求证：∠BCD=2∠PBC；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BP，交DC的延长线于点G，连接BD，若∠PBD=45°，BC=3，PG=$\sqrt{5}$，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）由∠B=∠D，∠ADC=∠ACB，即可得∠B=∠ACB，则可证得AB=AC；
（2）首先连接AP，可得∠PBC=∠ABC-∠ABP=∠APB-∠ABP，由AE=AF，易得∠PBC=∠BAD-∠PAC，继而可证得：∠BCD=2∠PBC；
（3）首先连接PC，PD，作PH⊥DG于点H，过点B作BM⊥DG于点M，易求得PD=PG，即可得∠PCH=∠PBD=45°，然后设PH=CH=x，易得方程在Rt△PHG中，x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，继而求得x的值，再设BM=m，即可得m²+（2m-3）²=3²，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠ADC=∠ABC，
∵∠ADC=∠ACB，
∴∠ABC=ACB，
∴AB=AC；

（2）如图2，连接AP，
∵∠ABC=∠ACB=∠APC，
∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=∠APB-∠ABP，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠APB=∠AFE-∠PAC，∠ABP=∠AEF-∠BAD，
∴∠PBC=（∠AFE-∠PAC）-（∠AEF-∠BAD）=∠BAD-∠PAC，
∵∠PAC=∠PBC，
∴∠PBC=∠BAD-∠PBC，
∴∠BAD=2∠PBC，
∴∠BCD=∠BAD=2∠PBC；

（3）如图3，连接PC，PD，作PH⊥DG于点H，过点B作BM⊥DG于点M，
∵∠BCD=∠PBC+∠G=2∠PBC，
∴∠PBC=∠G，
∴CG=BC=3，
∵∠PDC=∠PBC=∠G，
∴PD=PG，
∵∠PCH=∠PDC+∠DPC=∠CBP+∠DBC=∠PBD=45°，
∴PH=CH，
设PH=CH=x，
∴HG=3-x，
在Rt△PHG中，x²+（3-x）²=（$\sqrt{5}$）²，
解得x=2或x=1
∵∠G=∠PBC＜∠PBD，
∴tan∠G＜tan45°，
∴x=1，
∴CD=DH-CH=1
设BM=m，
∴MG=2m，
∴CM=2m-3，
∵BC=3，
∴m²+（2m-3）²=3²，
解得m=0（舍）或m=$\frac{12}{5}$，
∴DM=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

点评 此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．