Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．
（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的$\frac{1}{3}$？
（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？

Answer 1

分析 （1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S_△PCQ=$\frac{1}{3}$S_△ABC列出方程求解；
（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$或$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；

解答 解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的$\frac{1}{3}$，
由题意得：PC=2xm，CQ=（6-x）m，
则$\frac{1}{2}$×2x（6-x）=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×8×6，
解得：x=2或x=4．
则经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的$\frac{1}{3}$；

（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．
当△PCQ与△ACB相似时，则有$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$或$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，
所以$\frac{2t}{8}$=$\frac{6-t}{6}$，或$\frac{2t}{6}$=$\frac{6-t}{8}$，
解得t=$\frac{12}{5}$，或t=$\frac{18}{11}$．
因此，经过$\frac{12}{5}$秒或$\frac{18}{11}$秒，△OCQ与△ACB相似；

点评 本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．