Question

10．如图，正三角形A₁B₁C₁的面积为1，取△A₁B₁C₁各边的中点A₂、B₂、C₂，作第二个正三角形A₂B₂C₂，再取△A₂B₂C₂各边的中点A₃、B₃、C₃，作第三个正三角形A₃B₃C₃，…，则第4个正三角形A₄B₄C₄的面积是$\frac{1}{64}$；第n个正三角形A_nB_nC_n的面积是$\frac{1}{{{4^{n-1}}}}$．

Answer 1

分析 先根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出正三角形A₄B₄C₄的面积，根据规律推出第n个正三角形A_nB_nC_n的面积．

解答 解：因为正三角形△A₁B₁C₁的面积为1，而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
所以面积的比是1：4，则正△A₂B₂C₂的面积是1×$\frac{1}{4}$；
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是1：4，面积是（$\frac{1}{4}$）²；
第4个正三角形A₄B₄C₄的面积是${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是1：4，第n个三角形的面积是（$\frac{1}{4}$）^n-1=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．
故答案为：$\frac{1}{64}$，$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．