Question

14．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有a²+b²=c²；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：a²+b²＞c²，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，在Rt△ADB中，AD²=c²-（a-x）²
∴a²+b²=c²+2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a²+b²＞c²
∴当△ABC为锐角三角形时，a²+b²＞c²
所以小明的猜想是正确的．
（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a²+b²与c²的大小关系．
（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．
（3）证明你猜想的结论是否正确．

Answer 1

分析 （1）根据题意可猜测：当△ABC为钝角三角形时，a²+b²与c²的大小关系为：a²+b²＜c²；
（2）根据题意可作辅助线：过点A作AD⊥BC于点D；
（3）然后设CD=x，分别在Rt△ADC与Rt△ADB中，表示出AD²，即可证得结论．

解答 解：（1）当△ABC为钝角三角形时，a²+b²与c²的大小关系为：a²+b²＜c²；

（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，

（3）证明：如图3，设CD=x．
在Rt△ADC中，AD²=b²-x²，在Rt△ADB中，AD²=c²-（a+x）²
∴a²+b²=c²-2ax
∵a＞0，x＞0
∴2ax＞0
∴a²+b²＜c²
∴当△ABC为钝角三角形时，a²+b²＜c²．

点评 此题属于三角形的综合题．考查了勾股定理以及三角形的面积问题．注意理解题意是解此题的关键．