Question

5．如图，等腰直角△ABC的直角边AC在x轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D、E，且AB交y轴于点F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），AC=2$\sqrt{2}$，BE=2CE．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由点F的坐标求出点A的坐标，再根据AC求出OC，BC，从而求出点E的坐标即可；
（2）先确定出直线AF解析式，和反比例函数解析式联立求出点D坐标．

解答 解：（1）∵等腰直角△ABC的直角边AC在x轴上，F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴OA=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∵AC=2$\sqrt{2}$，
∴OC=AC-OA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=AC，BE=2CE，
∴CE=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{1}{3}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴k=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
（2）∵A（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），F（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴直线AF解析式为y=x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=x+\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}{4}}\\{y=\frac{\sqrt{34}+\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{34}}{4}}\\{y=-\frac{\sqrt{34}-\sqrt{2}}{4}}\end{array}\right.$（舍），
∴D（$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{34}}{4}$，$\frac{\sqrt{34}+\sqrt{2}}{4}$）．

点评 此题是待定系数法法求反比例解析式，主要考查了待定系数法，函数图象的交点坐标，解本题的关键是求出反比例函数解析式．