Question

10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3分别交y轴、x轴于B、A两点，且△ABO的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点P从点A出发沿x轴正方向运动，速度为$\sqrt{3}$个单位长度/秒，连接PB，设d=PB²，点P的运动时间为t秒，求d与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，过点P作PQ⊥AB交射线AB于点Q，连接PQ，当t为何值时，使△APQ≌△ABO，并求出此时的d的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形利用勾股定理计算即可解决问题；
（3）由△APQ≌△ABO可知AP=AB，列出方程求出t，即可解决问题；

解答 （1）解：由AB：y=kx+3可得B（0，3）
又因△ABO的面积=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•AO•BO=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•OA•3=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
AO=3$\sqrt{3}$，
∵点A在x轴的负半轴，
∴A（-3$\sqrt{3}$，0）
将A（-3$\sqrt{3}$，0）代入y=kx+3解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3．

（2）由题意可列：第一种情况：OP=OA-AP=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t
∵d=PB²=AO²+BO²=（3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t）²+3²=3t²-18t+36（0＜t≤3）．
第二种情况：OP=AP-OA=$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$
∵d=PB²=AO²+BO²=（$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$）²+3²=3t²-18t+36（t＞3）．
综上所述：d与t的函数关系式是：d=3t²-18t+36（t＞0）．

（3）∵∠BAO=∠PAO
∠AOB=∠AQP=90°
∴当AP=AB时△APQ≌△ABO，
∵AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=6，
∴，$\sqrt{3}$t=6，解得：t=2$\sqrt{3}$，
∴此时d=3t²-18t+36=3×（2$\sqrt{3}$）²-18×2$\sqrt{3}$+36=72-36$\sqrt{3}$．

点评 本题考查一次函数综合题，待定系数法，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．